Основные понятия гидродинамики. Уравнение непрерывности.

Как обычно, перед тем как изучать какое-то явление в деталях, вводится язык, на котором описывается это явление. Вот как раз сейчас будем этим заниматься. Давайте вспомним как изучали поступательное движение твердого тела. Мы заменили тело материальной точкой и рассматривали движение этой точки. В более сложной ситуации когда размерами тела уже нельзя пренебречь, мы рассматривали движение тела как совокупность двух одновременно происходящих движений - поступательное движение центра масс и вращение вокруг центра масс. Такой способ нам подходил потому что мы имели дело с твердым телом и любое движение точки тела мы могли рассчитать относительно его центра массы.

Сейчас мы имеем дело с совершенно другим объектом. Жидкость или газом это не твердое тело, поэтому такой подход здесь не работает. И приходится вырабатывать совершенно новые подходы. Жидкость и газ практически одно и тоже, но есть только одно существенное различие - газ можно сжать, жидкость считается несжимаемой. Значит разность между гидродинамикой и аэродинамикой состоит в том что плотность жидкости всегда одна и тоже, а плотность газа зависит от давления. Это одна наука, но аэродинамика более усложненная. Поэтому когда мы говорим слово жидкость можно с таким же успехом говорить слово газ.

Два способа описания движения жидкости или газа

Первый подход к описанию движения

Берут какую-то частицу жидкости или газа, точнее очень малый объем, настолько не большой, что его размерами можно пренебречь относительно той области в которой он движется. И рассматривают силы, действующие на эту частицу. Что это за силы? Это сила тяжести и сила давления. Зная силы действующие на частицу, с помощью 2-го закона Ньютона мы можем найти ускорение этой частицы. Зная ускорение, пользуясь аппаратом кинематики чисто математическим путем мы можем вычислить как меняется её скорость и направление. Зная как меняется скорость мы можем найти перемещение частицы в любой момент времени, т.е. мы можем знать траекторию движения частицы. Это невообразимо сложная задача, потому что таких частиц очень много, они движутся одновременно. Поэтому такой подход используется с помощью компьютерного моделирования. Именно такую задачу для огромного количества частиц решают суперкомпьютеры.

Второй подход к описанию движения

Этот подход более уместен, когда мы анализируем на теоретическом уровне движение жидкостей. Идея состоит в следующем. При первом подходе мы рассматриваем каждую частицу отдельно. При втором подходе мы рассматриваем жидкость как совокупность частиц. И в один момент времени смотрим как движутся частицы во всех точках жидкости сразу и рассматриваем систему как векторное поле скоростей.

Виды течения жидкостей и газов

Ламинарное течение - течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).

Турбулентное течение - течение жидкости или газа, характеризующееся беспорядочным, нерегулярным перемещением его объёмов и их интенсивным перемешиванием, но в целом имеющее плавный, регулярный характер.

Стационарное течение - течение, в каждой точке которого, скорость жидкости не меняется во времени. Ламинарное течение может быть стационарным, турбулентное - не может.

Существует жидкое трение. При движении тела в жидкости или газе возникают силы сопротивления в виде силы жидкого трения.

Идеальная жидкость

Идеальная жидкость - жидкость в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Теперь сузим задачу. Из всех видов течения мы сосредоточимся на таком виде течения - стационарное, ламинарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Вот о чем мы будем в дальнейшем говорить. Понятно, что часть эффектов мы выбрасываем, например, то что жидкость несжимаема, то в ней не возможно существование волн, звук не может распространяться в несжимаемой жидкости, потому что звук - это волна сжатия. Но существует много явлений, которые стоит изучить в таком упрощенном варианте. Мы должны формировать язык на котором мы будем описывать поведение и свойства жидкостей и газов. Дадим некоторые определения.

Поток жидкости. Объемный расход.

Линия тока - траектория по которой движется данная частица жидкости. Скорость движения тока по отношению к траектории направлена по касательной. Линии тока не могут пересекаться, потому что в данной точке пространства скорость направлена только в одном направлении.

Трубка тока - пучок линий тока ограниченный замкнутым контуром. За пределы трубки тока жидкость вытечь не может. Например - водопроводная труба или Гольфстрим.

Поток жидкости через данное сечение (объемный расход) (Q) - физическая величина, равная отношению объема жидкости (V) протекающей через это сечение за некоторый промежуток времени (t) к длительности этого промежутка (Q = V/t).

Q = V / t

Давайте выясним от чего зависит поток. Рассмотрим простую ситуацию. У нас есть труба с сечением площадью S. В ней движется поток со скоростью v. За время t жидкость проходит по трубе расстояние l или v*t. Объем расхода будет равный v*t*S. Подставляя значение в формулу получим Q = S*v.

Объемный расход трубы

Q = S⋅v = π⋅R2⋅v

S - площадь сечения трубы;
v - скорость потока;
R - радиус трубы;

Жидкость в трубе переменного сечения

Что можно сказать об объемах жидкости прошедших через одно и тоже время через сечение S1 и через сечение S2? Они одинаковы, потому что жидкость несжимаема. Значит от сюда следует, что Q1 = Q2. От сюда следует S1*v1=S2*v2. Или для любого сечения с перпендикулярной скоростью потока S*v=const.

Уравнение непрерывности жидкости

S⋅v = const

S - площадь сечения потока;
v - скорость потока.